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<!DOCTYPE html>

<title>Operator (Mathematik)</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Operator (Mathematik)</span></h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr"><p>Ein <b>Operator</b> ist eine <a href="Mathematik" title="Mathematik">mathematische</a> Vorschrift, durch die man aus <a href="Mathematisches_Objekt" title="Mathematisches Objekt">mathematischen Objekten</a> neue Objekte bilden kann. Er kann eine standardisierte <a href="Funktion_(Mathematik)" title="Funktion (Mathematik)">Funktion</a> oder eine Vorschrift über Funktionen sein. Anwendung finden die Operatoren bei <b>Rechenoperationen</b>, also bei manuellen oder bei maschinellen Berechnungen.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Operator">Operator</h2></div>

<p>Standardisierte Operatoren werden in der Mathematik meist dann definiert, wenn es sich um eine häufige, immer wiederkehrende Vorschrift handelt, meist eine <a href="Einstellige_Verkn%C3%BCpfung" title="Einstellige Verknüpfung">ein-</a> oder <a href="Zweistellige_Verkn%C3%BCpfung" title="Zweistellige Verknüpfung">zweistellige Verknüpfung</a>. Die Argumente dieser Verknüpfung heißen Operanden. Die Operatoren werden durch ein spezielles, kennzeichnendes <a href="Mathematisches_Symbol" class="mw-redirect" title="Mathematisches Symbol">mathematisches Symbol</a> (ein spezielles <a href="Schriftzeichen" title="Schriftzeichen">Schriftzeichen</a> der <a href="Formelschreibweise" class="mw-redirect" title="Formelschreibweise">Formelschreibweise</a>) dargestellt.<sup id="cite_ref-Church_1-0" class="reference"><a href="#cite_note-Church-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p><p>Beispiele:

</p>

<ul><li>die für die <a href="Grundrechenarten" class="mw-redirect" title="Grundrechenarten">Grundrechenarten</a> verwendeten Operatoren, also das <a href="Pluszeichen" title="Pluszeichen">Pluszeichen</a> „+“ für <a href="Addition" title="Addition">Addition</a>, das <a href="Minuszeichen" title="Minuszeichen">Minuszeichen</a> „−“ für <a href="Subtraktion" title="Subtraktion">Subtraktion</a>, die <a href="Malzeichen" title="Malzeichen">Malzeichen</a> „·“, „×“ oder „*“ für die <a href="Multiplikation" title="Multiplikation">Multiplikation</a>, und für die <a href="Division_(Mathematik)" title="Division (Mathematik)">Division</a> die <a href="Geteiltzeichen" title="Geteiltzeichen">Geteiltzeichen</a> „÷“, „:“, „/“ und der <a href="Bruchstrich" class="mw-redirect" title="Bruchstrich">Bruchstrich</a></li>

<li>der einstellige Operator für die <a href="Additiv_Inverses" class="mw-redirect" title="Additiv Inverses">Gegenzahl</a>, der ebenfalls mit Minus „−“ geschrieben wird</li>

<li>das <a href="Verkettungszeichen" title="Verkettungszeichen">Verkettungszeichen</a> „<span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \circ }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \circ }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/99add39d2b681e2de7ff62422c32704a05c7ec31.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: 0.125ex; margin-bottom: -0.297ex; width:1.162ex; height:1.509ex;" alt="{\displaystyle \circ }" loading="lazy"></span>“ für die <a href="Komposition_(Mathematik)" title="Komposition (Mathematik)">Komposition</a> von Funktionen</li>

<li>der <a href="Klasse_(Mengenlehre)" title="Klasse (Mengenlehre)">Klassenbildungsoperator</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{\mid \}}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{\mid \}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c9787dd7ec578d4f252873a953693b267a6e3d3a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.972ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \{\mid \}}" loading="lazy"></span></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Operand"><span id="Operand"></span> Operand</h2></div>

<p>Die Argumente, auf die man einen Operator anwendet, heißen Operanden. Beim Ausdruck <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1+2}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1+2}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e0088d16fd19c58d70489d7954127536f683119a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.165ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 1+2}" loading="lazy"></span> sind also die Zahlen <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 1}" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/901fc910c19990d0dbaaefe4726ceb1a4e217a0f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 2}" loading="lazy"></span> die Operanden, die mit dem zweiseitigen Operator <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle +}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle +}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fe6ef363cd19902d1a7a71fb1c8b21e8ede52406.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:1.808ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle +}" loading="lazy"></span> verknüpft sind.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Operatoren_in_der_Funktionalanalysis">Operatoren in der Funktionalanalysis</h2></div>

<p>In der <a href="Funktionalanalysis" title="Funktionalanalysis">Funktionalanalysis</a> hat man es mit <a href="Vektorraum" title="Vektorraum">Vektorräumen</a> zu tun, deren Elemente selbst Funktionen sind. Um die Elemente dieser Vektorräume besser von den Abbildungen zwischen solchen Vektorräumen zu unterscheiden, nennt man letztere auch <i>Operatoren</i>. Abbildungen von Funktionenräumen in den Körper der reellen oder komplexen Zahlen heißen auch Funktional.<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Spezielle Klassen von Operatoren sind etwa <a href="Kompakter_Operator" title="Kompakter Operator">kompakte Operatoren</a> oder <a href="Fredholm-Operator" title="Fredholm-Operator">Fredholm-Operatoren</a>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Beispiele">Beispiele</h3></div>

<p>Bekannte Beispiele für Operatoren, die einer Funktion eine Zahl oder eine andere Funktion zuordnen, sind:

</p>

<ul><li>Der <a href="Differentialoperator" title="Differentialoperator">Differentialoperator</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}}">

<mfrac>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0af2b09deac6d66a9774e6d80d36c2bc5ff38ba2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:2.69ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle \textstyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}}" loading="lazy"></span> zur Bildung von <a href="Differential_(Mathematik)" title="Differential (Mathematik)">Differentialen</a>.</li>

<li>Der <a href="Volterraoperator" class="mw-redirect" title="Volterraoperator">Volterraoperator</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle \int _{0}^{t}}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle \int _{0}^{t}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b7dc2c8aae39d29dcd1e73b0b3552282a22ea075.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.34ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle \textstyle \int _{0}^{t}}" loading="lazy"></span> zur Bildung des <a href="Bestimmtes_Integral" class="mw-redirect" title="Bestimmtes Integral">bestimmten Integrals</a>. Operatoren wie diese, die einer Funktion eine Zahl zuordnen, nennt man <a href="Funktional" title="Funktional">Funktional</a>.</li>

<li>Der <a href="Nabla-Operator" title="Nabla-Operator">Nabla-Operator</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \nabla }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \nabla }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a3d0e93b78c50237f9ea83d027e4ebbdaef354b2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.936ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \nabla }" loading="lazy"></span> zur Bestimmung des <a href="Gradient_(Mathematik)" title="Gradient (Mathematik)">Gradienten</a> einer mehrdimensionalen Funktion.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Lineare_und_nichtlineare_Operatoren">Lineare und nichtlineare Operatoren<span id="Nichtlinearer_Operator"></span></h3></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation"><span class="hauptartikel-pfeil" title="siehe" aria-hidden="true" role="presentation">→ </span><i><span class="hauptartikel-text">Hauptartikel</span>: <a href="Linearer_Operator" title="Linearer Operator">Linearer Operator</a></i></div>

<p>In der Funktionalanalysis betrachtet man Eigenschaften von Abbildungen zwischen (unendlichdimensionalen) <a href="Banachraum" title="Banachraum">Banachräumen</a>. <a href="Lineare_Abbildung" title="Lineare Abbildung">Lineare Abbildungen</a> heißen lineare Operatoren, nichtlineare Abbildungen werden nichtlineare Operatoren genannt.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Operatoren_der_Physik">Operatoren der Physik</h2></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation"><span class="hauptartikel-pfeil" title="siehe" aria-hidden="true" role="presentation">→ </span><i><span class="hauptartikel-text">Hauptartikel</span>: <a href="Observable" title="Observable">Observable</a></i></div>

<p>Observablen in der <a href="Quantenmechanik" title="Quantenmechanik">Quantenmechanik</a> sind Operatoren. Sie werden meist nach der zu messenden Größe benannt: der Operator zur Ortsmessung heißt dann der <b><a href="Ortsoperator" title="Ortsoperator">Ortsoperator</a></b> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}}">

<mover>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8a5451354f837d5d89774e1de386b44a903d929d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.411ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}}" loading="lazy"></span>. Entsprechend gibt es den <b><a href="Impulsoperator" title="Impulsoperator">Impulsoperator</a></b> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}}">

<mover>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8bda303998274a5d448b3493c8a62b31d7ff7143.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.485ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}}" loading="lazy"></span>, den <a href="Spin#Spinoperator" title="Spin"><b>Spinoperator</b></a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {\vec {\mathbf {s} }}}}">

<mover>

<mover>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\vec {\mathbf {s} }}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1d06e5f2d5e158a891c3aaa9e68bbbbe0962e45d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\vec {\mathbf {s} }}}}" loading="lazy"></span> usw.

</p><p>Der Operator zur Energie wird <b><a href="Hamilton-Operator" class="mw-redirect" title="Hamilton-Operator">Hamilton-Operator</a></b> genannt und mit <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {H}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {H}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6bb06de5217295d7fbdbf68fb9c5309a513fc99e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\hat {H}}}" loading="lazy"></span> bezeichnet. Er kommt insbesondere in der <a href="Schr%C3%B6dinger-Gleichung" class="mw-redirect" title="Schrödinger-Gleichung">Schrödinger-Gleichung</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {i} \hbar {\tfrac {\partial }{\partial t}}|\,\psi (t)\rangle ={\hat {H}}|\,\psi (t)\rangle }">

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {i} \hbar {\tfrac {\partial }{\partial t}}|\,\psi (t)\rangle ={\hat {H}}|\,\psi (t)\rangle }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e7f37c52ab0ce2b365e48c79ca71b187e24d5769.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:21.679ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {i} \hbar {\tfrac {\partial }{\partial t}}|\,\psi (t)\rangle ={\hat {H}}|\,\psi (t)\rangle }" loading="lazy"></span> vor.

</p><p>Der <b><a href="Dichteoperator" title="Dichteoperator">Dichteoperator</a></b> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \rho }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \rho }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1f7d439671d1289b6a816e6af7a304be40608d64.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.202ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \rho }" loading="lazy"></span> gibt für ein <a href="Ensemble_(Physik)" title="Ensemble (Physik)">Ensemble</a> die Wahrscheinlichkeit an, mit der sich ein herausgegriffenes System in einem bestimmten Zustand befindet.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Weitere_Operatoren_mit_Verwendung_in_der_theoretischen_oder_mathematischen_Physik">Weitere Operatoren mit Verwendung in der theoretischen oder mathematischen Physik</h3></div>

<ul><li><a href="Casimir-Operator" title="Casimir-Operator">Casimir-Operator</a></li>

<li><a href="D%E2%80%99Alembert-Operator" title="D’Alembert-Operator">D'Alembert-Operator</a></li>

<li><a href="Dirac-Operator" title="Dirac-Operator">Dirac-Operator</a></li>

<li><a href="Hermitescher_Operator" title="Hermitescher Operator">Hermitescher Operator</a></li>

<li><a href="Hodge-Stern-Operator" title="Hodge-Stern-Operator">Hodge-Stern-Operator</a></li>

<li><a href="Laplace-Operator" title="Laplace-Operator">Laplace-Operator</a></li>

<li><a href="Liouville-Gleichung" title="Liouville-Gleichung">Liouville-Operator</a></li>

<li><a href="Schr%C3%B6dinger-Operator" title="Schrödinger-Operator">Schrödinger-Operator</a></li>

<li><a href="Zeitentwicklungsoperator" title="Zeitentwicklungsoperator">Zeitentwicklungsoperator</a></li>

<li><a href="Pfadordnung" title="Pfadordnung">Pfadordnungsoperator</a> (siehe auch <a href="Wick-Theorem" title="Wick-Theorem">Wick-Theorem</a>)</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2></div>

<ul><li><a href="Logischer_Operator" title="Logischer Operator">Logischer Operator</a></li>

<li><a href="Operatorrangfolge" title="Operatorrangfolge">Operatorrangfolge</a></li>

<li><a href="Operatorenrechnung" title="Operatorenrechnung">Operatorenrechnung</a></li>

<li><a href="Operatorenschreibweise" class="mw-redirect" title="Operatorenschreibweise">Operatorenschreibweise</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li><i>Formelzeichen, Formelsatz, Mathematische Zeichen und Begriffe</i>. DIN-Taschenbuch 202. 1994-07.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-Church-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-Church_1-0">↑</a></span> <span class="reference-text">Alonzo Church: <cite style="font-style:italic">Introduction to Mathematical Logic</cite>. Princeton University Press, 1996, ISBN 0-691-02906-7, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>39</span> (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.de/books?id=JDLQOMKbdScC&pg=PA39#v=onepage">eingeschränkte Vorschau</a> in der Google-Buchsuche).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Operator+%28Mathematik%29&rft.au=Alonzo+Church&rft.btitle=Introduction+to+Mathematical+Logic&rft.date=1996&rft.genre=book&rft.isbn=0691029067&rft.pages=39&rft.pub=Princeton+University+Press" style="display:none"> </span></span>

</li>

<li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a></span> <span class="reference-text">Klaus Deimling: <i>Nichtlineare Gleichungen und Abbildungsgrade.</i> Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1974, ISBN 3-540-06888-0.</span>

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

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</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>